寫完本週回顧，就要去寫作業了。
[113-2 分析導論二 Week 1 課程回顧 2]
本文節錄自 2025-02-20 早上李志煌教授的授課內容。 延續 2025-02-18 所介紹的 Variation，今日介紹了更多關於 Variation 的性質，將第一個小節完成。
- 前情提要
上一篇回顧定義了實數函數 f 在實數閉區間 [a, b] 上 Variation，並定義 Variation 有限的函數所形成的集合 BV( [a, b] )。最後用以下兩個重要命題作結： (1) 如果 f 在 [a, b] 單調，則 f ∈ BV( [a, b] )。 (2) 若 f 在 [a, b] 連續，在 (a, b) 可微，並且 |f’(t)| 在 (a, b) 有界，則 f ∈ BV( [a, b] )。 從以上兩個敘述，不難推得 [a, b] 上的 C^1 函數也會在 BV( [a, b] ) 裡。
- 幾個關於 BV( [a, b] ) 的命題
(1) BV( [a, b] ) ⊆ B( [a, b] )，其中 B( [a, b] ) 是在 [a, b] 上有界的函數所形成的集合。 (2) BV( [a, b] ) 在 R 上是一個向量空間。換句話說，若 f, g ∈ BV( [a, b] )，c 為實數，則 f + g, f - g, cf ∈ BV( [a, b] )。 (3) 若 f, g ∈ BV( [a, b] )，則 fg ∈ BV( [a, b] )。 (4) 若 f ∈ BV( [a, b] ) 且存在實數 m 使得 |f| ≥ m > 0 成立，則 1/f ∈ BV( [a, b] )。 (5) 若 f ∈ BV( [a, b] 且 c ∈ (a, b)，則 f ∈ BV ( [a, c] ) ∩ BV( [c, b] )，且 V_f( [a, b] ) = V_f( [a, c] ) + V_f( [c, b] ) 證明：要證明兩個不等式 ≤ 和 ≥。 ≤：選擇 [a, c] 的 Partition P1 和 [c, b] 的 Partition P2，會得到 V_P1( f) + V_P2( f ) ≤ V_f( [a, b] )。對 P1 和 P2 分別取 supremum 即可。 ≥：在 [a, b] 中取一個 Partition P，令 P’ 為另一個 [a, b] 上的 Partition，其 support 為 supp(P) ∪ {c}。 定義 A 為 P’ ∩ [a, c]，B 為 P’ ∩ [c, b] 。 利用 Partition 的性質，會有 V_P( f ) ≤ V_P’( f ) = V_A( f ) + V_B( f )，對 P 取 supremum 後得證。
- Variation Function
若 f ∈ BV( [a, b] )，我們定義它的 Variation Function V(x): [a, b] → R 為：
- x = a 時，V(x) = 0
- x ∈ (a, b] 時，V(x) = V_f( [a, x] )
- 關於 Variation Function 的命題 (1) Lemma: 若 f ∈ BV( [a, b] )，則 V 與 V - f 皆為遞增函數。 (2) Theorem: f ∈ BV( [a, b] ) 若且唯若存在遞增 (減) 函數 g, h 使得 f = g - h。 證明： ⇐：利用 1. (1) 和 2. (2)。 ⇒：利用 4. (1)，考慮 f = V - (V - f)。 (3) 若 f ∈ BV( [a, b] )，x ∈ (a, b)，則 f 在 x 上連續等價於 V 在 x 上連續。 從 Variation 的定義和性質，隱約可以看出其與積分的連結。 下集預告：Riemann-Stieltjes Integral。