PiSearch

剛剛看了 Wiwi 的新文章 《77100065》，他在圓周率中搜尋自己的生日 (1985-12-04)，結果第一次出現在第 77,100,065 位。 我的生日是 2003-11-19，它第一次出現在第 7,002,731 位，看來我不僅比 Wiwi 還要年輕，在圓周率裡的排名也比 Wiwi 還要前面。 想要知道自己在圓周率裡的位置嗎？可以使用 Josh Keegan 的 PiSearch 在 \(\pi\) 的前 50 億位數中找尋自己的生日喔！

能在圓周率中找到自己的生日嗎？

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我們可以將西元生日視為連續八位的數字。在五十億個數字的隨機數列中，共有 4,999,999,993 組連續八位數字。 從所有可能的連續八位數字（00000000 至 99999999，共有一億個）任選一個，它完全不出現在數列中的機率為

$$ p = \left(\frac{99,999,999}{100,000,000}\right)^{4,999,999,993} \approx 1.9287495 \times 10^{-22}. $$

按照上面的計算結果，在圓周率小數點後的五十億位數字中，幾乎能保證找到自己的生日。

關於你的生日在圓周率中的排名

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在五十億個數字的隨機數列中，你的生日在前 \( n \) 組連續八位數字中出現的機率 \( q \) 是

$$ q = 1 - \left( \frac{99,999,999}{100,000,000} \right)^{n}. $$

用嚴謹一點的數學語言，我們可以將「你的生日出現在第 \( N \) 組連續八位整數 」的 \( N \) 視為一個隨機變數 (random variable)。 而上述的算式可以寫成

$$ P(N \leq n) = q = 1 - \left( \frac{99,999,999}{100,000,000} \right)^{n}. $$

其中 \( P(\cdot) \) 表示機率函數，同樣地，我們有

$$ P(N > n) = \left( \frac{99,999,999}{100,000,000} \right)^{n}, $$

也就是「你的生日至少要在第 \( n + 1 \) 組連續八位數字，才會第一次出現」的機率。

要找到中位數，我們需要找到 \( n \) 使得 \( q = P(N \leq n) = 0.5 \)。利用上面的算式，我們可以得到

$$ n = \frac{\log_{10}(1 - q)}{\log_{10} \left( \frac{99,999,999}{100,000,000} \right)} \approx 69314717.71. $$

無條件捨去的話，中位數是小數點後第 69,314,717 位。

利用類似的算法，我們可以得到下列排名：

所以，我的 PR 值大約在 92 ~ 93 之間，而 Wiwi 大約在 PR 45 ~ 46 之間。