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Mathematical Analysis Note: Absolute convergene implies convergence

·88 words·1 min

這是分析導論二 Homework 3.4 的第(1)題:

Let \( (a_n)_{n \geq 1} \) be a real sequence, and \( M > 0 \) be such that $$ \forall n \geq 1, \left|\sum_{k = 1}^n a_k\right| < M. $$ Let \( f:[1, +\infty) \to \mathbb{R} \) be a decreasing function with limit \( 0 \) at \( +\infty \). Show that $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n a_k f(k) $$ exists.

這一題可以利用 Riemann-Stieltjes 積分來解,可是要先證明 \(f\) 對 \(A\) 可積。

我當時沒有想到作法,所以決定採用大一微積分的作法:證明 \( \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n |a_k f(k)| \) 是收斂的。

這樣,就可以利用絕對收斂的特性,得到原本的級數收斂的結論。